UIB 2 + f (x) + f(x) ց ց ր ր Per tant, el punt ( 3. Una altra forma de veure-ho és calcular la derivada segona i mirar el signe en x = 3: 2 f (x) =

Transcripción

1 El cas positiu no té solució. Si analitzam el cas negatiu, ens surt x = x+, d on x =. A continuació fem la taula següent per veure si el valor obtingut és un màxim, mínim o un punt de sella. x + f (x) + + f(x) ց ց ր ր Per tant, el punt (,4) és un mínim. Una altra forma de veure-ho és calcular la derivada segona i mirar el signe en x = : f (x) = (x ) f (x ), ( ) = > 0, Comquef ( )éspositiu, estractad unmínimcomjahavíemcomprovatabans. ii) Per estudiar la convexitat i la concavitat hem de mirar el signe de la derivada segona: x + f (x) + f(x) Serà convexa en la regió (,) (, ) i serà cóncava en l interval (,). d) Calculau la següent integral indefinida x x +x dx. (0 punts) Solució. Ja que el grau del numerador és menor que el del denominador, descomposem la funció racional de la forma següent: x x +x = A x + B x + C x+ = Ax(x+)+B(x+)+Cx. x (x+) Les constants A, B i C han de complir: Ax(x+)+B(x+)+Cx = x. Les constants A B i C valen: A =, B = i C =. La integral serà: x x +x dx = x dx x x+ dx = ln x + x ln x+ +C.

2 Solució. i) La matriu del sistema A i la matriu ampliada A del mateix són les següents: a 5a a a 5a a a b A = 0 a, A = 0 a a+b. 0 a a 0 a a b El determinant de la matriu del sistema A val: det(a) = 6a 7a +a. Si resolem l equació 6a 7a +a = 0, obtenim que a =. Per tant, tenim que si a, el rang de les matrius A i de A serà i el sistema serà compatible determinat. Falta estudiar el cas a =. Per a =, la matriu del sistema és: La matriu ampliada és: b 0 b+. El rang de la matriu A val 0 b clarament. Per calcular el rang de la matriu A, fem el determinant següent: 5 b b+ b = 5 0b. Si b, el rang de la matriu A serà i el sistema és incompatible. Per b =, 4 4 el rang de la matriu A serà i el sistema serà compatible indeterminat. ii) Hem de solucionar el sistema per a = i b =. 4 El sistema a resoldre és: Les solucions són: y = 4, z = c) Sigui la funció f(x) = (x ) (x ). 5y +z = 4, y z = 5 4, y +z = 4 i la x lliure. i) Calculau els extrems de la funció f(x). (7 punts) ii) Estudieu quan la funció f(x) és cóncava o convexa. ( punts) Solució. i) Per calcular els extrems, primer fem la derivada: f (x) = (x ) (x ). Si igualam la derivada a 0, ens surt un únic valor de x: x = : (x ) = 0, (x ) (x ) = (x ), (x ) = (x ), x = ±(x ).

3 Prova d accés a la Universitat (0) Matemàtiques II Model OPCIÓ B a) Considerem el punt P(,,) i la recta r : x = y+ = z. i) Calculau l equació general del pla π que conté el punt P i la recta r. (4 punts) ii) Calculau el punt simètric de P respecte la recta r. (6 punts) Solució. i) El pla π tendrà com a vectors directors el vector director de la recta (v = (,,)) i el vector format per un punt del pla i el punt P (v = (,,) (,,) = (,, )). L equació del pla π serà: x y z = 0, Arreglant l expressió anterior surt: π : x+7y z +0 = 0. ii) El punt simètric P = (x,y,z) verifica que el vector PP = (x,y,z ) és perpendicular al vector director de la recta r, v = (,,), i que el punt mig entre P i P, ( x+, y+, ) z+, està en la recta r: (x )+(y )+(z ) = 0 x+ + = y+, x+ = z+. El sistema anterior es pot escriure com: x+y +z = 0, x y = 8, x z = 6. El sistema d equacions anterior té com a solucions x = 6, y = 7 8 i z = 7. 7 El punt P serà, doncs, P = ( 6 7, 8 7 7),. b) i) Discutiu per a quins valors d a i b el sistema següent és compatible: (a )x+5ay +az = a b, y az = a+b, ay +( a)z = b. (7 punts) ii) Resoleu-lo en el cas (o casos) en que sigui compatible indeterminat. ( punts)

4 y x x 0 x L àrea demanada serà: A = = ( (4 x x )dx = 4 4 ) = 6. (4 x )dx = ] [4x x

5 a = 0: el sistema a resoldre és: x y = 0, x = 0, x y = 0. Les solucions són: x = 0, y = 0 i z lliure. a = 5: el sistema a resoldre és: 4 x+ 7y = 0, 8 x 5z = 5, x y 5z = 5. Les solucions són: y = x, z = x i x lliure. c) Sigui la funció f(x) = sin(x) x. Demostreu que la funció f(x) té exactament tres zeros en l interval ( π, π ). O sigui, heu de provar que existeixen exactament tres valors de x en l interval ( π, π ) tals que f(x) = 0. (0 punts) Solució. Si fem la derivada, tenim que f (x) = cos(x). Ara calculem els zeros de la derivada en l interval ( π, π ) : cos(x) = 0, cos(x) =. Hi ha dos valors de x que compleixen l equació anterior: x = ± π. Com que la derivada té dos zeros 6 en l interval considerat, sabem que, aplicant el Teorema de Rolle, la funció f(x) té zeros com a màxim en l interval ( π, π ). Per veure que hi ha exactament tres zeros, trobem canvis de signe: ( f π ) = π ( > 0, f π ) = + π 4 4 < 0. Pel Teorema de Bolzano, tenim que hi ha un valor x entre π i π 4 Si fem f(0) = 0. Per tant, un dels tres valors buscats és x = 0. Per últim, si fem ( π f = 4) π ( π ) 4 > 0, f = π < 0. tal que f(x) = 0. Per tant, aplicant el Teorema de Bolzano, deduïm que existeix un valor x entre π 4 i π tal que f(x) = 0. d) Feu un dibuix del recinte limitat per les corbes y (x) = 4 x, y (x) = x. (4 punts) Calculau l àrea d aquest recinte. (6 punts) Solució. Primer de tot calculem els punts d intersecció de les corbes: 4 x = x, x = 4, x =, x = ±. Les dues corbes es tallen als punts (,) i (,). El gràfic del recinte es pot veure a la figura següent:

6 El determinant de la matriu del sistema A val: det(a) = a a 5a. Si resolem l equació a a 5a = 0, obtenim que a =,0, 5. Per tant, tenim que si a,0, 5, el rang de les matrius A i de A serà i el sistema serà compatible determinat. Falta estudiar els casos a =, a = 0 i a = 5. 0 Per a =, la matriu del sistema és: La matriu ampliada és: 0 0. El rang de la matriu A val clarament. Per calcular el rang de la matriu ampliada fem el determinant següent: = 0. Per tant, el rang de la matriu A serà i el sistema serà compatible indeterminat. 0 Si a = 0, la matriu del sistema serà: La matriu ampliada és: El rang de la matriu A val clarament. Per calcular el rang de la matriu ampliada fem el determinant següent: = El rang de la matriu A serà i el sistema serà compatible indeterminat Si a = 5 la matriu del sistema serà: La matriu ampliada és: El rang de la matriu A val clarament. Per calcular el rang de lamatriu ampliada fem el determinant següent: = 0. Per tant, el rang de la matriu A serà i el sistema serà compatible indeterminat. ii) Hem de solucionar el sistema en els casos següents: a = : el sistema a resoldre és: x y = 0, z =, x y +z =. Les solucions són: y = x, z = i x lliure.

7 Prova d accés a la Universitat (0) Matemàtiques II Model Contestau de manera clara i raonada una de les dues opcions proposades. Es disposa de 90 minuts. Cada qüestió es puntua sobre 0 punts. La qualificació final s obté de dividir el total entre 4. Es valoraran la correcció i la claredat en el llenguatge(matemàtic i no matemàtic) emprat per l alumne. Es valoraran negativament els errors de càlcul. OPCIÓ A a) i) Donada la matriu A = ii) Calculeu A per a =. a +a a 0 a a 0 a, calculeu el seu rang en funció d a. (6 punts) (4 punts) Solució. i) Si calculam el determinant de la matriu A obtenim: deta = a +8a. Igualant el determinant anterior a 0, veim que s anul la només per a = 0. D aquí podem deduir que el rang de la matriu A serà si a 0 ja que el determinant de la matriu és diferent de 0. Si a = 0, obtenim la matriu menor 0 0 = és diferent de 0. ii) La matriu A per a = val , que, clarament té rang ja que el La seva inversa val: b) i) Discutiu per a quins valors d a el sistema següent és compatible: (a+)x+(a )y = 0, (a+)x az = a, x+(a )y az = a. (7 punts) ii) Resoleu-lo en el cas (o casos) en que sigui compatible indeterminat. ( punts) Solució. i) La matriu del sistema A i la matriu ampliada A del mateix són les següents: a+ a 0 a+ a 0 0 A = a+ 0 a, A = a+ 0 a a. a a a a a